polinomi e scomposizioni — riassunto e quiz

Cos’è un polinomio?

Un polinomio è una somma di monomi con coefficienti numerici e potenze intere non negative di una variabile.

Termini fondamentali

Monomio: coefficiente × variabileⁿ.
Coefficiente è il numero davanti al monomio.
Grado è la più alta esponente del polinomio.
Termine costante è il monomio con esponente 0.

Somma e differenza di polinomi

Per sommare o sottrarre polinomi, si raggruppano i termini simili e si sommano i coefficienti.

Esempio: (3x²+2x+5) − (x²+4x−1) = 2x² − 2x + 6.

Prodotto di polinomi

Il prodotto si ottiene usando la distributiva: ogni termine di un polinomio si moltiplica per tutti i termini dell’altro.

Esempio: (x+2)(x‑3) = x·x + x·(‑3) + 2·x + 2·(‑3) = x² − x − 6.

Fattorizzazione: fattore comune

Se tutti i termini condividono un fattore comune, lo si estrae.

Esempio: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).

Trinomio quadrato perfetto

Un trinomio del tipo a² ± 2ab + b² è un quadrato perfetto e si scrive (a ± b)².

Esempio: x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Diferenza di quadrati

Un’espressione a² − b² si fattorizza in (a − b)(a + b).

Esempio: 9x² − 4 = (3x − 2)(3x + 2).

Scomposizione di trinomio ax²+bx+c

Si cerca due numeri che moltiplicano a·c e sommano b; si riscrive il termine intermedio e si fattorizza a gruppo.

Esempio: x² + 5x + 6 → (x + 2)(x + 3).

Fattorizzazione per gruppi

Quando un polinomio ha quattro termini, si può suddividerlo in gruppi e mettere in evidenza fattori comuni.

Esempio: x³ + 3x² + 2x + 6 = (x²+2)(x+3).

Applicazione: risolvere equazioni quadrate

Dopo aver fattorizzato, si usa la regola zero del prodotto: se AB=0, allora A=0 o B=0.

Esempio: x² − 5x + 6 = 0 → (x‑2)(x‑3)=0 → x=2 o x=3.